ВЫВОД ДИНАМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В РАМКАХ КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

    Рассмотрим систему, состоящую из большого  числа атомов, т.е. вещество. Распределение  электронной плотности в веществе при стационарном движении электронов описывается стационарной функцией распределения   w(x,y,z),  уравнение для которой мы вывели в предыдущем параграфе.

   Отметим, что под стационарным распределением следует понимать усредненную за бесконечное время наблюдения плотность электронной  плазмы в веществе. Однако из-за статистического характера движения электронов электронная плотность не остается постоянной, а непрерывно флуктуирует во времени за счет естественного орбитального движения электронов  в атомах и молекулах. Таким образом, для установления более полной динамической картины поведения электронной плазмы необходимо учитывать временную зависимость функции распределения. При этом функция распределения будет иметь вид:   w(x,y,z,t). Требуется определить характер этой зависимости и, в частности, зависимость от времени комплексной амплитуды функции распределения ψ(x,y,z,t).

С этой целью воспользуемся законом сохранения полного заряда или числа частиц в веществе, который в дифференциальной форме известен как уравнение непрерывности для плотности заряда   r   и плотности  электрического тока   j = v r,  где  v - средняя  скорость электронов,

¶ r /¶  t + div j  =  0.                              (1) 

Используя статистический метод описания, выразим плотность электрического заряда через  функцию распределения электронной плотности   w(x,y,z,t)   и заряд электрона e

r(x,y,z,t) = e w(x,y,z,t) = e|ψ(x,y,z,t)| ².                        (2)

Подставив это выражение в (1) и сократив заряд    e,   получим уравнение непрерывности для  функции распределения электронной плотности 

¶  /¶  t  |ψ| ² + div |ψ| ² v  =  0.                                (3)

Данное уравнение на языке статистической  механики может быть интерпретировано следующим  образом. Первый член уравнения означает изменение функции распределения или электронной плотности во времени в данной точке пространства. Второй член имеет смысл потока функции распределения или потока плотности вероятности через малую сферу, окружающую данную точку, в соответствии с определением дивергенции вектора.          Вполне естественно, что от функции распределения некоторой  физической величины (заряда, массы, энергии и  т.д.) можно всегда перейти к описанию поведения во времени самой физической величины в  терминах механики сплошной среды.  

  Таким  образом, использование той или иной    функции распределения является мостиком или связующим звеном между описанием движения дискретных объектов в статистической механике и в механике непрерывных сред, которые всегда являются некоторой идеализацией реального вещества, состоящего из атомов и молекул.

Недооценка этого подхода породила в квантовой теории представление об отдельной частице как о протяженном (размытом) в пространстве объекте:  например, волна де Бройля, волновой пакет или электрон в виде облака, хотя речь идет, как правило, всего лишь о функции распределения, то есть плотности вероятности местонахождения частицы  в заданном  объеме.

С целью определения временной зависимости  ψ(x,y,z,t) приведем уравнение (3) к  виду

¶  /¶  t (ψ*ψ) = - div(ψ*ψ v) .                                (4)  

         Преобразуем правую часть (4) к симметричной форме с заменой скорости   v   на импульс электрона  p = mv

        ¶ /¶  t(ψψ*) = - (1/2m)div(ψ*рψ + ψрψ*).                (5)

         Теперь воспользуемся методом Фурье, примененным для вывода стационарного уравнения Шредингера в предыдущем пункте, и произведем замену импульса  р   в (5) дифференциальным оператором в соответствии с выражением

                   р ψ = - iћ Ñ ψ.                                       (6)

Подставляя (6) в (5) и выполнив дифференцирование, получаем

        ¶  /¶  t(ψψ*) = (iћ /2m)(ψ*D ψ + ψD ψ*).                    (7)

         Для приведения уравнения к удобному виду с целью  совместного его решения со стационарным уравнением Шредингера  умножим все члены  на   iћ, раскроем скобки в левой части, а в правую часть прибавим и вычтем слагаемое ψ*U ψ. После соответствующей перегруппировки слагаемых в получившемся уравнении имеем

iћ ψ*¶  ψ/¶  t – [iћ ψ*¶  ψ/¶  t]* = - (ћ ²/2m)ψ*Dψ + ψ*U ψ –

            [- (ћ ²/2m)ψ*Dψ + ψ*Uψ]*.                                       (8)

Данное сложное уравнение состоит из двух комплексно

 сопряженных частей более простого уравнения

        iћ ¶  ψ/¶  t  = - (ћ ²/2m)Dψ + Uψ,                                (9)

где произведено сокращение на    ψ*.

         Мы получили полностью классическим путем динамическое уравнение Шредингера, которое было введено им также в виде постулата, исходя из волновых соображений в 1926 году. Если потенциальная энергия    U(x,y,z)   не зависит от времени, то в уравнении (9) можно произвести разделение переменных, записав функцию   ψ  в виде произведения временной и пространственной функций

         ψ(x,y,z,t) = В(t) П(x,y,z) .                            (10)

Подставим это выражение в уравнение (9)

iћ П dB/dt = -( ћ ²/2m) ВDП + U ВП                     (11)

и поделим обе части уравнения (11) на    ВП

iћ (1/В) dB/dt = - ћ ²/2m (DП)/П + U.                    (12)

         Хорошо видно, что левая часть уравнения (12) зависит только от времени, а правая часть - только от координат. Для любых значений   t   и координат это возможно только в том случае, если обе части уравнения равны некоторой константе   Е,   называемой параметром разделения. В результате мы получаем два независимых уравнения

iћ dB/dt = E B                                                    (13)

и                          (- ћ ²/2m) DП + U П = E П.                        (14)

Второе уравнение является стационарным уравнением Шредингера, которое было выведено нами ранее методом Фурье. Уравнение (13) легко решается и приводит к следующей временной зависимости функции   В(t):

В(t) = exp(-iE t / ћ) = exp(-i