5
Функции распределения электронов по
импульсам в периодических структурах
Рассмотрим
поведение электронов в периодической
атомной структуре. Предположим, что атомы
расположены в упорядоченной линейной
цепочке с бесконечной протяженностью и
расстояния между центрами атомов равны
a
(рис. 2.). Подобные цепочки атомов можно
наблюдать в достаточно крупных совершенных
монокристаллах, состоящих из однородных
атомов.
Допустим также, что электроны в атомах цепочки движутся по некоторым стационарным орбитам, в результате чего устанавливается равновесное распределение электронов в пространстве. Естественно ожидать, что в данном случае распределение электронных облаков имеет пространственную периодичность с периодом, равным а.
Рис. 2. Упорядоченное расположение атомов вдоль одной из кристаллографических осей в монокристалле.
Таким
образом, как функция распределения
электронов по координатам w
(x,y,z),
так и комплексная амплитуда функции
распределения
Ψ
(x,y,z)
для цепочки атомов имеют
пространственную периодичность с периодом
а
Разложим
периодическую функцию
Ψ
(x,y,z)
в ряд Фурье в
комплексной форме по пространственным
гармоникам по оси x,
полагая при этом, что по осям
y и
z
предварительно произведено усреднение
электронной плотности,
где
k
= 2p/a
- пространственная частота первой
гармоники,
Сn
- коэффициенты разложения или
амплитуды Фурье-гармоник. Если функция Ψ(x)
нормирована на отрезке от
-а/2
до а/2,
то коэффициенты
Сn
ряда (28) можно определить посредством
интегрирования на этом отрезке
a/2
Сn
=
1/a
ò
Ψ
(x)
exp(-i
n
k
x)
dx.
(29)
-a/2
Достаточным условием применимости разложения Фурье являются некоторые математические ограничения, сводящиеся к тому, что функция Ψ (x) должна быть непрерывной или иметь конечное число разрывов, а также в пределах одного периода иметь конечное число максимумов и минимумов (условие Дирихле). Вполне естественно, что большинство функций распределения удовлетворяют этим условиям.
Можно
предположить, что распределение
электронной плотности в реальных
периодических структурах имеет
сравнительно гладкий характер, т.е. не имеет
очень резких перепадов, как и большинство
других распределений в статистической
физике. В таком случае ряд Фурье (28) будет
быстро спадать с увеличением
n,
т.е. не будет иметь в своем составе очень
высокочастотных пространственных гармоник.
Хорошо
известно, что слагаемые ряда Фурье являются
взаимно ортогональными функциями при
интегрировании их по оси
x. Таким образом,
ряд (28) можно рассматривать как разложение
функции
Ψ
(x)
по
собственным ортогональным функциям
Ψn
(x),
причем квадрат модуля коэффициента
|Сn|2
означает спектральный вклад
n-й
гармоники в общий частотный спектр.
Существенно
отметить, что согласно (28) функция
распределения электронов по координатам в
периодической структуре имеет дискретный
частотный спектр. Можно ожидать, что и
функция распределения электронов по
импульсам также будет дискретной.
Подставив
значение функции Ψ
(х)
из ряда Фурье (28) в выражение функции
j
(рх)
(19), мы можем вычислить ее явный вид
(30)
pxn
= n
ћ
k,
(n = 1,…,¥).
(33)
Отсюда можно заключить, что такая электронная система в периодической структуре может обмениваться лишь дискретными импульсами, кратными ћ k, что и объясняет дифракцию любых частиц на монокристаллах, а также условия Вульфа – Брэгга (1) - (2). При этом следует иметь ввиду, что данная закономерность имеет исключительно статистическую природу.
ЛИТЕРАТУРА
1. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.:Наука, 1983.
2. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1962.
4. Lande A. The case against quantum dualiti / "Philos. Sci.",1962. V.29. N.1, 1-6.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1968. Т.1.
6.
Савельев И.В. Курс общей физики. Механика.
Молекулярная физика. М.: Наука, 1982. T.1.
